漢字筆劃統計特性

新疆氣象局張學文，在網上的一篇文章“漢字筆劃與數量的數學公式──漢字的數學美”中，發現漢字的筆劃數，服從對數正態分佈：

其中μ＝2.4739，σ=0.3827。因為漢字的筆劃數x只能取正整數，就不應該是連續的分佈。按所給資料，計算出漢字平均筆劃數為11（=e^2.473），因為漢字筆劃最多的可達30以上，所以不可能是對稱的。實際上該文附圖（分佈直方圖）橫坐標用的是x，右邊有拖尾。按公式，縱坐標是概率密度或頻數時，橫坐標應是ln(x)。我另外取得資料，並以這樣的橫坐標畫圖如下：

如圖所示，三條曲線中只有靜態漢字筆劃數對數的分佈具有正態分佈形態。英文字長對數的分佈肯定不符合正態分佈，而動態漢字筆劃數對數的分佈則居中間。所謂靜態，每個漢字只計算一次，而動態是要按每個漢字使用的頻數加權來計算頻率的。靜態的漢字筆劃平均數為10.98，動態的漢字筆劃平均數是7.30。張學文所用的資料，是直接從辭海統計得到，所以是靜態的。英文字長分佈是我從英語自考課文統計的，是動態的。現把數據錄於下表：

漢字國標二級字形檔筆劃數統計					英語自考課文字長統計
筆劃數	靜態字頻	百分比	動態字頻	百分比	英文字長	字數	百分比
1	5	0.0740	274831	1.2618	1	1741	3.3629
2	34	0.5030	604767	2.7766	2	9022	17.4267
3	79	1.1688	1319100	6.0562	3	10215	19.7311
4	140	2.0713	1923681	8.8319	4	9157	17.6875
5	204	3.0182	2025553	9.2997	5	6079	11.7421
6	349	5.1635	3161205	14.5136	6	4444	8.5840
7	528	7.8118	2295616	10.5396	7	3844	7.4250
8	679	10.0459	3421771	15.7099	8	2804	5.4162
9	751	11.1111	2155414	9.8959	9	1843	3.5599
10	730	10.8004	1506787	6.9179	10	1315	2.5400
11	701	10.3714	1008573	4.6305	11	702	1.3560
12	637	9.4245	830160	3.8114	12	314	0.6065
13	523	7.7378	521739	2.3954	13	198	0.3825
14	397	5.8736	357884	1.6431	14	62	0.1198
15	310	4.5865	166970	0.7666	15	18	0.0348
16	255	3.7727	116220	0.5336	16	7	0.0135
17	175	2.5891	44780	0.2056	17	6	0.0116
18	75	1.1096	11045	0.0507	18	0	0.0000
19	75	1.1096	10457	0.0480	19	0	0.0000
20	44	0.6510	14897	0.0684	20	0	0.0000
21	24	0.3551	6890	0.0316	21	0	0.0000
22	16	0.2367	1218	0.0056	22	0	0.0000
23	13	0.1923	1053	0.0048	23	0	0.0000
24	7	0.1036	238	0.0011	24	0	0.0000
25	6	0.0888	109	0.0005	25	0	0.0000
26	1	0.0148	0	0.0000	26	0	0.0000
27	0	0.0000	0	0.0000	27	0	0.0000
28	0	0.0000	0	0.0000	28	0	0.0000
29	0	0.0000	0	0.0000	29	0	0.0000
30	1	0.0148	0	0.0000	30	0	0.0000
合計	6759	100.0000	21780958	100.0000	合計	51771	100.0000

上表中漢字部分只統計了二級簡體字。動態頻數是按“漢字頻數統計”（貝貴琴等，1988）一書中的資料加權計算的。從圖和表中都可發現，筆劃數為7的漢字，頻數不正常的低。我特地查考過“漢字資訊字典”（李公宜和劉如水編，1988年）994頁的表，看到那裏的數字與我的基本一樣，原來基礎數位都是根據我國70年代完成的同一次統計。這樣的大工程不可能出大錯，尤其不可能只有7劃的漢字頻數出錯，而且都偏少了。所以這個缺口到底意味著什麼，很值得研究。

我再用橫坐標x繪圖如下。可見英文字長的分佈更符合二項分佈，圖中帶小圈的是實際曲線，不帶的是理論曲線。N都取26，並列出了三條理論曲線的p（如英文的p=0.1416)：

雖然圖中漢字的理論曲線不很好，但它們應有同樣的規律，應傾向于二項分佈。無論是二項分佈和對數正態分佈，我們都還不能說明其中的機制。

至於英文字母的分佈，更早就有人研究過。個別字母如E出現頻率很高，而J，Q，Z等則要少一百多倍。分佈不均是意料得到的，但不會想到竟如此之大。從資訊理論角度計算它的熵等於-Σ P*log(P)=0.403，如果均勻分佈則為－log(1/27)=4.76（加了一個空格字元，共27個）。從提高資訊轉播效率來說，應該分佈均勻，但實際不可能。有什麼深刻道理嗎？對於語音不知有沒有做過這樣的研究？我認為漢字筆劃相當於英文字母，不同的筆劃數目和字母數相當，它們在文字中的作用也一樣。我曾分為25種不同的漢字筆劃，統計結果表明，漢字筆劃分佈的不均勻性更大。英文字母有次序，但按其本性，字母和筆劃是沒有序的。所以下列圖表中，我就按其頻數大小排了序。英文字母中不包括空格，上面所舉的資料，如果扣掉空格，各個字母地頻率也和我得到的一樣。

國標二級字形檔中各漢字筆劃統計					N	英語自考課文中各字母統計
筆劃	靜態頻數	百分比	動態頻數	百分比		字母	頻數	百分比
橫 h	12388	17.3010	28959852	18.2136	1	E	30977	12.9823
豎 s	12109	16.9113	26299913	16.5407	2	T	22032	9.2335
撇 p	11725	16.3750	26255175	16.5125	3	A	19528	8.1841
點 d	9987	13.9477	20989126	13.2006	4	O	18587	7.7897
專折k	7441	10.3920	15608529	9.8166	5	I	16618	6.9645
折 z	4560	6.3684	9087708	5.7155	6	N	16548	6.9352
捺 n	2169	3.0292	6212902	3.9074	7	S	16148	6.7675
折勾m	1682	2.3491	5022002	3.1585	8	R	14750	6.1816
挑 t	1980	2.7652	3461267	2.1769	9	H	12008	5.0325
左勾g	1102	1.5390	3269786	2.0564	10	L	9882	4.1415
又撇f	1153	1.6103	2667121	1.6774	11	D	8276	3.4684
撇折a	871	1.2164	2582692	1.6243	12	C	7233	3.0313
兒勾u	720	1.0055	2058829	1.2948	13	U	6545	2.7430
橫勾e	731	1.0209	1378584	0.8670	14	M	6284	2.6336
耳勾b	306	0.4274	1006112	0.6328	15	F	5513	2.3105
又勾y	640	0.8938	935817	0.5886	16	Y	4858	2.0360
斜勾x	317	0.4427	762825	0.4798	17	P	4805	2.0137
右彎r	594	0.8296	645941	0.4062	18	G	4509	1.8897
風勾c	214	0.2989	394195	0.2479	19	W	4467	1.8721
言挑i	153	0.2137	379251	0.2385	20	B	3455	1.4450
撇捺l	262	0.3659	365327	0.2298	21	V	2670	1.1190
馬勾v	274	0.3827	329677	0.2073	22	K	1710	0.7167
建折j	33	0.0461	165795	0.1043	23	X	544	0.2280
彎勾o	150	0.2095	116226	0.0731	24	J	272